Статья

Название статьи ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОПЕРАЦИИ ОТСЕЧЕНИЯ ПРИ РЕШЕНИИ НОРМАЛЬНЫХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
Автор В. Н. Лутай, Н. Ш. Хусаинов
Рубрика РАЗДЕЛ IV. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА
Месяц, год 07, 2017
Индекс УДК 519.61
DOI
Аннотация Рассматривается способ повышения устойчивости решения систем нормальных уравнений. Такие системы линейных алгебраических уравнений широко применяются при обработке экспериментальных результатов для вычисления коэффициентов регрессии, оценивания и идентификации параметров систем управления. Наиболее распространенным способом их решения является метод квадратных корней (метод Холецкого), который преобразует квадратную симметричную матрицу системы уравнений к произведению двух треугольных матриц. Он относится к прямым алгоритмам решения СЛАУ и является наиболее экономичным среди них. Вместе с тем существуют системы нормальных уравнений, для решения которых метод квадратных корней использован быть не может. Это системы с плохо обусловленной матрицей коэффициентов, т.е. такие, в которых небольшое изменение свободных коэффициентов приводит к значительным изменениям решения. При их решении возможен срыв вычислений вследствие появления отрицательного подкоренного выражения. Это обстоятельство сужает область применения метода Холецкого и вынуждает использовать другие прямые и итеративные алгоритмы с большей трудоемкостью. В качестве способа предотвращения такого явления в работе предлагается использовать при вычислении подкоренного выражения операцию отсечения младших разрядов произведения (квадрата) двух чисел. Введение операции, нестандартной для вычислительной схемы, приводит к появлению ошибок разложения матрицы на треугольные сомножители. Полученное решение является приближенным решением исход-ной системы или, что то же самое, точным решением системы, в которой некоторые диагональные члены исходной матрицы увеличены. Величины ошибок разложения могут быть определены по ходу вычислений и использованы для получения точного решения исходной системы, для чего требуется некоторое количество дополнительных операций. В работе приведены результаты экспериментов с известной матрицей Гильберта, которая часто используется в качестве тестовой при проверке эффективности вычислительных процедур.

Скачать в PDF

Ключевые слова Нормальные уравнения; метод квадратных корней; плохо обусловленные системы уравнений; отсечение младших разрядов произведения.
Библиографический список 1. Кабанов С.А. Оптимизация динамики систем при действии возмущений. – М.: Физматлит, 2008. – 200 c.
2. Шебшаевич В.С., Дмитриев П.П., Иванцевич Н.В. и др. Сетевые спутниковые радионавигационные системы / под ред. В.С. Шебшаевича. – 2˗е изд. перераб. и доп. – М.: Радио и связь, 1993. – 408 с.
3. Азарсков В.Н., Житецкий Л.С. Параметрическая идентификация многосвязного статического объекта в замкнутом контуре управления: специальный случай // Труды XII Всероссийское совещание по проблемам управления ВСПУ-201. Москва 16-19 июня 2014 г. – C. 2764-2776.
4. Губанов В.С. Обобщенный метод наименьших квадратов: монография. – СПб.: Наука, 1997. – 318 с.
5. Дорф Р., Бишоп Р. Современные системы управления. – М.: Лаборатория базовых знаний, 2002. – 832 с.
6. Гайдышев И. Анализ и обработка данных. Специальный справочник. – СПб.: Питер, 2001. – 750 с.
7. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. − М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984. – 320 c.
8. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления: пер. с англ. – М.: Мир, 1999. – 548 c.
9. Горбаченко В.И. Вычислительная линейная алгебра с примерами на MATLAB. – СПб.: БХВ-Петербург, 2011. – 320 с.
10. Уилкинсон Дж. Алгебраическая проблема собственных значений. – М.: Изд˗во Наука. Главная редакция физико˗математической литературы, 1970. – 565 c.
11. Кнут Д.Э. Искусство программирования. Т. 2. Получисленные алгоритмы – The Art of Computer Programming. – М.: Вильямс, 2001.
12. Баландин М.Ю., Шурыгина Э.П. Методы решения СЛАУ большой размерности. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2000. – 70 с.
13. Ильин В.П. Методы неполной факторизации для решения алгебраических систем. – М.: Физматлит, 1995. – 284 c.
14. Saad Y. Iterative Methods for Sparse Linear Systems. – New York: PWS Publ., 1996.
15. Stone H.L. Iterative Solution of Implicit Approximations of Multidimensional Partial Differential Equations // SIAM Journal on Numerical Analysis. – 1968. – No. 5 (3). – P. 530-558.
16. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1979. – 285 c.
17. Intel MKL PARDISO solver. – Режим доступа: https://software.intel.com/en-us/mkl-developer-reference-fortran-intel-mkl-pardiso-parallel-direct-sparse-solver-interface (дата обращения: 09.11.2017).
18. Lutay V.N., Khusainov N.S. Compensation of the computation errors in solving equation in navigation systems // International journal of applied engineering research. – 2016. – Vol. 11. – P. 11555-11559. – ISSN 0073-4562.
19. Форсайт Дж., Моллер К. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений. – М.: Мир, 1969. – 164 с.
20. Майстренко А.В., Светлаков А.А., Черепанов А.А. Исследование свойств матрицы Гильберта и причин ее плохой обусловленности // Омский научный вестник. – 2011. – № 3 (103). – C. 265-269.

Comments are closed.