Статья

Название статьи ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ВЕЙЕРШТРАССА И ЕЁ ПРОИЗВОДНОЙ ЦЕПНЫМИ ДРОБЯМИ
Автор И.И. Левин, В.В. Селянкин, В.И. Шмойлов
Рубрика РАЗДЕЛ II. СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, МОДЕЛИРОВАНИЕ И АЛГОРИТМЫ
Месяц, год 04, 2016
Индекс УДК 517.524
DOI
Аннотация Рассматривается подход к изучению недифференцируемых функций, базирующийся на методах теории непрерывных дробей. Установлено, что функция Вейерштрасса в рациональных точках x0 точно представляется конечными цепными дробями. Цепные дроби для функции Вейерштрасса устанавливаются из исходных тригонометрических рядов посредством рекуррентного алгоритма Рутисхаузера. Значения расходящихся рядов находятся построением, так называемых, соответствующих цепных дробей. Этот прием используется при определении производной функции Вейерштрасса, которая может быть записана расходящимся тригонометрическим рядом. Суммированием расходящихся рядов были установлены значения производной функции Вейерштрасса в рациональных точках x0, причем, производные определяются конечными цепными дробями, содержащими то же число звеньев, что и цепные дроби, определяющие значения функции Вейерштрасса в тех же точках. При помощи соответствующих цепных дробей найдены значения расходящихся в классическом смысле функций Вейерштрасса. Приводятся результаты численных экспериментов, связанных с изучением свойств функции Вейерштрасса. В частности, показано, что непрерывность функции Вейерштрасса проявляется в чрезвычайно малой окрестности выбранной точки x0. Также установлена зависимость точности вычисления функции Вейерштрасса от числа членов ряда, представляющего эту функцию.

Скачать в PDF

Ключевые слова Функция Вейерштрасса; суммирование расходящихся дробей и рядов; производная функции Вейерштрасса.
Библиографический список 1. Демьянов В.Ф. Рубинов А.М. Основы негладкого анализа и квазидифференциальное исчисление. – М.: Наука, 1990. – 431 с.
2. Потапов А.А. Колебания, волны, структуры и системы на примерах глобального фрактально-скейлингового метода // Нелинейный мир. – 2014. – Т. 12, № 4. – С. 3-34.
3. Ерофеева Л.Н. Фрактальная размерность недифференцированных функций // Труды Нижегородского государственного технического университета. – 2011. – № 3 (90). – С. 353-357.
4. Левин И.И., Хисамутдинов М.В., Шмойлов В.И. Функция Вейерштрасса и r/φ-характеристики // Известия ЮФУ. Технические науки. – 2014. – № 1 (150). – С. 144-158.
5. Шмойлов В.И., Хисамутдинов М.В., Кириченко Г.А. Интервальные и предельные r/φ-характеристики функции Вейерштрасса // Вестник НИЯУ МИФИ. – 2014. – Т. 3, № 3. – С. 301-310.
6. Хисамутдинов М.В., Шмойлов В.И. Предельные r/φ-характеристики функции Вейерштрасса // Нелинейный мир. – 2015. – Т. 13, № 3. – С. 39-52.
7. Джоунс У., Трон В. Непрерывные дроби. Аналитическая теория и приложения: пер. с англ. – М.: Мир, 1985. – 414 с.
8. Скоробогатько В.Я. Теория ветвящихся цепных дробей и ее применение в вычислительной математике. – М.: Наука, 1983. – 312 с.
9. Cuyt A., Petersen V., Verdonk B., Waadeland H., Jones W. Handbook of Continued Fractions for Special Functions. – Springer Science, 2008. – 431 p.
10. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби. В 3-х т. Т. 1. Периодические непрерывные дроби. – Львов, 2004. – 645 с.
11. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби. В 3-х т. Т. 2. Расходящиеся непрерывные дроби. – Львов, 2004. – 558 с.
12. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби. В 3-х т. Т. 3. Из истории непрерывных дробей. – Львов, 2004. – 520 с.
13. Шмойлов В.И. Периодические цепные дроби. – Львов: Академический экспресс, 1998. – 219 с.
14. Шмойлов В.И., Слобода З.И. Расходящиеся непрерывные дроби. – Львов, 1999. – 820 с.
15. Шмойлов В.И., Чирун Л.В. Непрерывные дроби и комплексные числа. – Львов, 2001. – 564 с.
16. Гузик В.Ф., Ляпунцова Е.В., Шмойлов В.И. Непрерывные дроби и их применение. – М.: Физматлит, 2015. – 298 с.
17. Шмойлов В.И. Расходящиеся системы линейных алгебраических уравнений. – Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2010. – 205 с.
18. Шмойлов В.И., Коваленко В.Б. Некоторые применения алгоритма суммирования расходящихся непрерывных дробей // Вестник Южного научного центра РАН. – 2012. – Т. 8, № 4. – С. 3-13.
19. Кириченко Г.А., Шмойлов В.И. Алгоритм суммирования расходящихся непрерывных дробей и некоторые его применения // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 2015. – Т. 55, № 4. – С. 558-573.
20. Селянкин В.В., Шмойлов В.И. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом суммирования расходящихся рядов // Известия ЮФУ. Технические науки. – 2015. – № 6 (167). – С. 82-94.
21. Weierstrass K. Math. Werke. Bd.2. Berlin 1895. Abh.6.
22. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби и r/-алгоритм. – Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2012. – 608 с.
23. Шмойлов В.И., Редин А.А., Никулин Н.А. Непрерывные дроби. Lap Lambert Academic Publishing. – Saarbruken, Germany, 2015. – 336 с.
24. Рутисхаузер Г. Алгоритм частных и разностей. – М.: ИИЛ, 1960. – 93 с.

Comments are closed.