Найти

Результаты поиска

• КОМПЬЮТЕРНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

  С.Г. Буланов

  2021-02-13

  Аннотация ▼

  Предложен подход к анализу устойчивости в смысле Ляпунова систем обыкн о-
  венных дифференциальных уравнений. В основе подхода лежат критерии устойчив о-
  сти в виде необходимых и достаточных условий, полученные на основе матричных
  мультипликативных преобразований разностных схем численного интегрирования.
  Матричная, мультипликативная форма критериев влечет возможность их цикличе-
  ской программной реализации в виде цикла по числу сомножителей. Математически
  обосновано, что необходимая в процессе программирования замена бесконечного
  матричного произведения на конечное произведение, сохраняет достоверность анал и-
  за устойчивости по предложенным критериям. Проведено исследование зависимости
  достоверности компьютерного анализа устойчивости от погрешности разностного
  решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений. С целью повышения
  точности разностных приближений решения и линеаризации системы используется
  метод варьируемого кусочно-полиномиального приближения решения. Метод дает
  непрерывные и непрерывно-дифференцируемые приближения искомых решений на
  всем промежутке интегрирования. Требуемые приближения получаются на осно ве
  кусочно-полиномиальной аппроксимации интерполяционными полиномами Ньютона,
  преобразованными к форме полинома с числовыми коэффициентами. Компьютерная
  аппроксимация подынтегральных функций повышает точность вычисления интегр а-
  ла. Тем самым повышается точность вычисления выражений в каждом сомножите-
  ле матричных произведений, как следствие повышается достоверность анализа по
  критериям устойчивости. Проведен программный и численный эксперимент по анал и-
  зу устойчивости системы Лоренца при заданных начальных усл овиях и вариации па-
  раметров. На основе численных данных, полученных в ходе эксперимента, однозначно
  установлен характер устойчивости исследуемой системы. В целом предложенный
  подход дает возможность выполнить анализ устойчивости произвольной системы
  обыкновенных дифференциальных уравнений в режиме реального времени без обращ е-
  ния к методам качественной теории дифференциальных уравнений и системам ко м-
  пьютерной математики.

• АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ ЖЕСТКИХ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

  С.Г. Буланов

  2021-08-11

  Аннотация ▼

  Предложен метод анализа устойчивости в смысле Ляпунова систем обыкновенных
  дифференциальных уравнений. Метод базируется на критериях устойчивости в виде необхо-
  димых и достаточных условий, полученных на основе векторно-матричных преобразований
  разностных схем численного интегрирования. Представлены разновидности критериев в
  мультипликативной, аддитивной и матричной форме. Конструкция критериев влечет воз-
  можность их программной реализации. Для повышения достоверности анализа устойчиво-
  сти приближения решения, входящего в конструкцию критериев, находятся на основе кусоч-
  но-интерполяционной аппроксимации полиномами Лагранжа, преобразованными к форме с
  числовыми коэффициентами. Проведен программный и численный эксперимент по анализу
  устойчивости модели периодической реакции Белоусова-Жаботинского, относящейся к классу жестких систем, при заданных начальных условиях. Анализ выполняется на основе пред-
  ставленных критериев и по результатам работы программы однозначно определяется ха-
  рактер устойчивости в режиме реального времени. На основе результатов эксперимента
  можно утверждать, что замена разностных приближений решения на кусочно-
  интерполяционные приближения повышает достоверность анализа устойчивости, сокраща-
  ет время исследования, позволяет определять асимптотические свойства решения. В целом
  предложенный подход является альтернативой методам качественной теории дифференци-
  альных уравнений и дает возможность в режиме реального времени достоверно установить
  характер устойчивости жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

• КОМПЬЮТЕРНО-ОРИЕНТИРОВАННЫЙ ПОДХОД К АНАЛИЗУ УСТОЙЧИВОСТИ ПО ЛЯПУНОВУ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

  С.Г. Буланов

  2023-10-23

  Аннотация ▼

  Разрабатывается подход к анализу устойчивости по Ляпунову систем нелинейных
  обыкновенных дифференциальных уравнений. Подход основан на векторных мультиплика-
  тивных преобразованиях разностных схем численного интегрирования при ограничениях
  общего вида. В ходе преобразований величина возмущения решения определяется в виде
  бесконечного векторного произведения умноженного на возмущение начальных данных.
  Следовательно, бесконечное векторное произведение определяет характер устойчивости
  системы. Отсюда следуют критерии устойчивости и асимптотической устойчивости
  нелинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений в мультипликативной
  форме. Математическая конструкция критериев влечет возможность их программной
  реализации, что служит основой компьютеризации анализа устойчивости по Ляпунову.
  Необходимая в процессе программной реализации замена бесконечного векторного произ-
  ведения на конечное произведение, сохраняет достоверность анализа устойчивости по
  предложенным критериям. Далее конструируются разновидности критериев устойчиво-
  сти в аддитивной и логарифмической форме эквивалентные ранее полученным критериям.
  При дополнительных ограничениях строятся критерии устойчивости по характеру пове-
  дения правой части нелинейной системы ОДУ и ее производных. Представлен программ-
  ный и численный эксперимент по анализу устойчивости систем нелинейных ОДУ на основе
  полученных критериев. Эксперимент сводится к оценке величины из левой части критери-
  ев. Ее ограниченное изменение соответствует устойчивости, монотонное стремление к
  нулю характеризует асимптотическую устойчивость, неограниченный рост является
  признаком неустойчивости. По результатам эксперимента однозначно установлен харак-
  тер устойчивости исследуемых систем. Предложенный подход дает возможность на
  практике выполнить анализ устойчивости по Ляпунову нелинейной системы обыкновенных
  дифференциальных уравнений в режиме реального времени.