КОМПЬЮТЕРНО-ОРИЕНТИРОВАННЫЙ ПОДХОД К АНАЛИЗУ УСТОЙЧИВОСТИ ПО ЛЯПУНОВУ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Аннотация
Разрабатывается подход к анализу устойчивости по Ляпунову систем нелинейных
обыкновенных дифференциальных уравнений. Подход основан на векторных мультиплика-
тивных преобразованиях разностных схем численного интегрирования при ограничениях
общего вида. В ходе преобразований величина возмущения решения определяется в виде
бесконечного векторного произведения умноженного на возмущение начальных данных.
Следовательно, бесконечное векторное произведение определяет характер устойчивости
системы. Отсюда следуют критерии устойчивости и асимптотической устойчивости
нелинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений в мультипликативной
форме. Математическая конструкция критериев влечет возможность их программной
реализации, что служит основой компьютеризации анализа устойчивости по Ляпунову.
Необходимая в процессе программной реализации замена бесконечного векторного произ-
ведения на конечное произведение, сохраняет достоверность анализа устойчивости по
предложенным критериям. Далее конструируются разновидности критериев устойчиво-
сти в аддитивной и логарифмической форме эквивалентные ранее полученным критериям.
При дополнительных ограничениях строятся критерии устойчивости по характеру пове-
дения правой части нелинейной системы ОДУ и ее производных. Представлен программ-
ный и численный эксперимент по анализу устойчивости систем нелинейных ОДУ на основе
полученных критериев. Эксперимент сводится к оценке величины из левой части критери-
ев. Ее ограниченное изменение соответствует устойчивости, монотонное стремление к
нулю характеризует асимптотическую устойчивость, неограниченный рост является
признаком неустойчивости. По результатам эксперимента однозначно установлен харак-
тер устойчивости исследуемых систем. Предложенный подход дает возможность на
практике выполнить анализ устойчивости по Ляпунову нелинейной системы обыкновенных
дифференциальных уравнений в режиме реального времени.
Литература
sistem na osnove dekompozicii [Analysis of stability and stabilization of nonlinear systems via
decomposition], Sibirskij matematicheskij zhurnal [Siberian mathematical journal], 2015,
Vol. 56, No. 6, pp. 1215-1233.
2. Mel’nikov G.I., Mel’nikov V.G., Dudarenko N.A., Talapov V.V. Ustoychivost' dvizheniya
nelineynykh dinamicheskikh sistem pri postoyanno deystvuyushhikh vozmushheniyah [Stability
of nonlinear dynamical system motion under constantly acting perturbations], Nauchnotehnicheskiy
vestnik informatsionnykh tehnologiy, mekhaniki i optiki [Scientific and technical
journal of information technologies, mechanics and optics], 2019, Vol. 19, No. 2, pp. 216-221.
3. Mironov V.V., Mitrokhin Yu.S. Tekhnologicheskiy podkhod k issledovaniyu ustoychivosti
dinamicheskikh sistem: prikladnye voprosy [Constructive approach to the research of dynamic
systems stability: applied problems], Vestnik RGRTU [Vestnik of RSREU], 2017, No. 59,
pp. 127-135.
4. Druzhinina O.V., Masina O.N. O podhodakh k analizu ustoychivosti nelineynykh
dinamicheskikh sistem s logicheskimi regulyatorami [On approaches to the stability analysis
of nonlinear dynamic systems with logical controllers], Sovremennye informatsionnye
tehnologii i IT-obrazovanie [Modern Information Technologies and IT-Education], 2017,
Vol. 13, No. 2, pp. 40-49.
5. Druzhinina O.V., Masina O.N. Sistemnyy podkhod k issledovaniyu ustoychivosti modeley,
opisyvaemykh differentsial'nymi uravneniyami razlichnykh tipov [System approach to stability
research of the models described by the differential equations of different types], Vestnik
Rossiyskoy akademii estestvennykh nauk [Herald of Russian Academy of Natural Sciences],
2015, No. 3, pp. 24-30.
6. Barreau М., Seuret А., Gouaisbaut F., Baudouin L. Lyapunov stability analysis of a string
equation coupled with an ordinary differential system, IEEE Trans. Automatic Control, 2018,
available on HAL.
7. Luyckx L., Loccufier M., Noldus E. Computational methods in nonlinear stability analysis:
stability boundary calculations, J. Comput. Appl. Math, 2004, Vol. 168, No. 12, pp. 289-297.
8. Giesl P., Hafstein S. Computation of Lyapunov functions for nonlinear discrete time systems
by linear programming, J. Difference Equ. Appl, 2014, Vol. 20, No. 4, pp. 610-640.
9. Olgac N., Sipahi R. A practical method for analyzing the stability of neutral type LTI-time
delayed systems, Automatica, 2004, Vol. 40, No. 5, pp. 847-853.
10. Hafstein S. A constructive converse Lyapunov theorem on asymptotic stability for nonlinear
autonomous ordinary differential equations, Dynamical Systems, 2005, Vol. 20, pp. 281-299.
11. Romm Ya.E. Komp'yuterno-orientirovannyy analiz ustoychivosti na osnove rekurrentnykh
preobrazovaniy raznostnykh resheniy obyknovennykh differencial'nykh uravneniy [Computeroriented
stability analysis based on recurrent transformation of difference solutions of ordinary
differential equations], Kibernetika i sistemnyy analiz [Cybernetics and Systems Analysis],
2015, Vol. 51, No. 3, pp. 416-431.
12. Bulanov S.G. Analiz ustoychivosti sistem lineynykh differentsial'nykh uravneniy na osnove
preobrazovaniya raznostnykh skhem [Stability analysis of systems of linear differential equations
based on transformation of difference schemes], Mekhatronika, avtomatizatsiya,
upravlenie [Mekhatronika, Avtomatizatsiya, Upravlenie], 2019, Vol. 20, No. 9, pp. 542-549.
13. Romm Ya.E. Komp'yuterno-orientirovannyy analiz ustoychivosti resheniy differentsial'nykh
sistem [Computer-oriented stability analysis of solutions of differential systems], Sovremennye
naukoemkie tehnologii [Modern high technologies], 2020, No. 4, pp. 42-63.
14. Bulanov S.G. Differential systems stability analysis based on matrix multiplicative criteria,
Journal of Physics: Conf. Series, 2020, 1479, 012103.
15. Bulanov S.G. Computer analysis of differential systems stability based on linearization and
matrix multiplicative criteria, Journal of Physics: Conf. Series, 2021, 1902, 012101.
16. Bulanov S.G., Dzhanunts G.A. Programmnyy analiz ustoychivosti sistem obyknovennykh
differentsial'nykh uravneniy na osnove mul'tiplikativnykh preobrazovaniy raznostnykh skhem
i kusochno-polinomial'nykh priblizheniy resheniya [Program analysis of stability of ordinary
differential equations systems on the basis of multiplicative transformations of difference
schemes and piecewise polynomial approximations of the solution], Promyshlennye ASU i
kontrollery [Industrial Automatic Control Systems and Controllers], 2015, No. 2, pp. 10-20.
17. Dzhanunts G.A., Romm Ya.E. Var'iruemoe kusochno-interpolyatsionnoe reshenie zadachi Koshi
dlya obyknovennykh differentsial'nykh uravneniy s iteratsionnym utochneniem [The varying
piecewise interpolation solution of the Cauchy problem for ordinary differential equations with iterative
refinement], Zhurnal vychislitel'noy matematiki i matematicheskoy fiziki [Computational
Mathematics and Mathematical Physics Journal], 2017, Vol. 57, No. 10, pp. 1616-1634.
18. Cesari L. Asimptoticheskoe povedenie i ustoychivost' resheniy obyknovennykh
differentsial'nykh uravneniy [Asymptotic Behavior and Stability Problems in Ordinary Differential
Equations]. Moscow: Mir, 1964, 478 p.
19. Kamke E. Spravochnik po obyknovennym differentsial'nym uravneniyam [Handbook of Exact
Solutions for Ordinary Differential Equations]. Moscow: Science, 1971, 576 p.
20. Doban A., Lazar M. Computation of Lyapunov functions for nonlinear differential equations
via a Yoshizawa-type construction, 10th IFAC Symp. on Nonlinear Control Systems NOLCOS:
IFAC-PapersOnLine, 2016, pp. 29-34.
21. Xiao-Lin L., Yao-Lin J. Numerical algorithm for constructing Lyapunov functions of polynomial
differential systems, J. Appl. Math. Comput, 2009, Vol. 29, No. 1-2, pp. 247-262.
22. Zhaolu T., Chuanqing G. A numerical algorithm for Lyapunov equations, J. Appl. Math.
Comput, 2008, Vol. 202, No. 1, pp. 44-53.
