АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ПРИВЕДЕННОГО ПОЛИНОМИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ НЕПРЕРЫВНЫХ ДРОБЕЙ

Аннотация

Приводится алгоритм, основанный на применении непрерывных дробей, для нахож-
дения нулей полинома n-й степени. В настоящее время существует большое разнообразие
методов и алгоритмов для решения задач подобного типа; отличительной особенностью
предлагаемого алгоритма является возможность его эффективного использования при
достаточно больших значениях n, кроме того, данный алгоритм применим в случае нали-
чия комплексных корней. Любое действительное число можно представить в виде конеч-
ной или бесконечной непрерывной цепной дроби. Основное назначение цепных дробей со-
стоит в том, что они дают малую погрешность при приближенных вычислениях дейст-
вительных чисел в виде обыкновенных дробей при решении алгебраических уравнений и сис-
тем. Целью нашей работы является применение разработанного алгоритма для решения
полиномиальных уравнений, содержащих не только действительные, но и комплексные
корни, с помощью непрерывных дробей; оценка числа арифметических шагов при его чис-
ленном решении. В статье приводятся аналитические выражения для решения полиноми-
ального уравнения; полученные аналитические выражения представляют собой отношение
определителей Теплица. Отличительной особенностью данных определителей является
наличие в качестве диагональных элементов коэффициентов решаемого алгебраического
уравнения. Для получения численного решения использован модифицированный алгоритм
Рутисхаузера. Комплексные корни при решении уравнения могут быть найдены с помощью
алгоритма для суммирования непрерывных дробей. В статье приводятся в качестве иллю-
страции предлагаемого алгоритма результаты численного решения полиномиального урав-
нения пятой степени. Преимуществом алгоритма является малое количество затрачивае-
мых арифметических операций, возможность рассмотрения полиномов высокой степени,
малая погрешность вычислений.