ОБОБЩЕННЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ С ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМИ ВНУТРЕННИМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ

  • А. Г. Клово Южный федеральный университет
  • Г. В. Куповых Южный федеральный университет
  • А.А. Илюхин Южный федеральный университет
  • И.А. Ляпунова Южный федеральный университет
Ключевые слова: Дифференциальный оператор, спектр, обобщенные тригонометрические системы, внутренняя граница, собственные функции, собственные значения, самосопряженность, ортонормированность

Аннотация

При решении задач, связанных с исследований прочностных свойств различных конст-
рукций, часто используются некоторые наборы тригонометрических (синусы или косинусы),
а также гиперболических функций, которые циклично при взятии производных последова-
тельно переходят друг в друга. Эти наборы состоят из двух функций, причем последняя из
этих функций при дифференцировании переходит в первую, взятую соответственно со зна-
ком «плюс» (тригонометрическая система первого типа) или «минус» (тригонометрическая
система второго типа). Тригонометрические и гиперболические функции также использу-
ются при решении многих прикладных задач, математические модели которых содержат
вторые производные по пространственным переменным. Если математическая модель со-
держит производные четвертого порядка по пространственным переменным, то при реше-
нии соответствующих задач можно использовать функции, четвертые производные кото-
рых пропорциональным этим функциям. Известен ряд работ по общей теории систем функ-
ций, где описаны обобщенные тригонометрические системы (ОТС) функций, производные
определенного порядка которых пропорциональны этим функциям. В данной работе эта
теория развивается в направлении исследования квадратичных форм функций, составляю-
щих ОТС. Показано, что квадратичные формы функций ОТС могут сами по себе являться
функциями ОТС того же порядка (первого или второго типов). Полученные тождества и
созданная теория используется для решения спектральных задач для оператора четвертого
порядка для функций с определенными условиями. Специфика рассматриваемых задач заклю-
чается в том, что помимо стандартных граничных условий имеются дополнительные усло-
вия на внутренней границе. Эти условия недостаточны для того, чтобы автономно решать
задачу в каждой отдельной области в которых заданы исследуемые функции. Использование
установленных в работе свойств ОТС позволяет решать такие задачи во всей рассматри-
ваемой области.

Литература

1. Krylov A.N. O raschete balok, lezhashchikh na uprugom osnovanii [On the calculation of
beams lying on an elastic base]. Leningrad: Izd. AN SSSR, 1931.
2. Puzyrevskiy N.P. Raschety fundamentov [Calculations of foundations]. Petrograd: Izd. I.I.P.S.,
1923.
3. Filippov A.P. Metody rascheta sooruzheniy na kolebaniya [Methods of calculating structures
for vibrations]. Moscow, Leningrad: Stroyizdat Narkomstrom, 1940.
4. Vinogradov Yu.I. Funktsii Koshi-Krylova v raschetakh na prochnost' plastin i obolochek [Cauchy-
Krylov functions in calculations for the strength of plates and shells], Izvestiya vysshikh
uchebnykh zavedeniy. Mashinostroenie [News of higher educational institutions. Mechanical
engineering], 2013, No. 8, pp. 15-19.
5. Vinogradov Yu.I. Mul'tiplikativnyy metod resheniya kraevykh zadach teorii obolochek [Multiplicative
method for solving boundary value problems of shell theory], Prikladnaya
matematika i mekhanika. RAN [Applied Mathematics and Mechanics. RAS], 2013, Vol. 77,
Issue 4, pp. 620-628.
6. Vinogradov Yu.I. Funktsii Koshi-Krylova v raschetakh na prochnost' plastin i obolochek [Cauchy-
Krylov functions in calculations for the strength of plates and shells], Izvestiya vysshikh
uchebnykh zavedeniy. Mashinostroenie [News of higher educational institutions. Mechanical
engineering], 2013, No. 8, pp. 15-19.
7. Efimov A.V., Klovo A.G. Metod promezhutochnykh zadach dlya issledovaniya voprosov razrusheniya
plastiny, dvizhushcheysya pod deystviem vneshney, vynuzhdayushchey sily [The
method of intermediate problems for the study of the issues of the destruction of a plate moving
under the action of an external, compelling force], Pyatoe sovetsko-chekhoslovatskoe
soveshchanie po primeneniyu metodov teorii funktsiy i funktsional'nogo analiza k zadacham
matematicheskoy fiziki. (Materialy soveshchaniya) [The fifth Soviet-Czechoslovak meeting on
the application of methods of the theory of functions and functional analysis to problems of
mathematical physics. (Materials of the meeting)]. Novosibirsk, 1979. pp. 42-44.
8. Klovo A.G. Nekotorye voprosy kolebaniy kvartsevykh rezonatorov s odnim derzhatelem.
Fizicheskie osnovy mikroelektroniki [Some issues of oscillation of quartz resonators with one
holder. Physical foundations of microelectronics], Sb. trudov MIETa [Collection of works of
MIET]. Moscow, 1979, pp. 58-65.
9. Aronszajn N., Weinstein A. On the unified theory of eigenvalues of plates and membrans,
Amer. J. Math., 64 (1942), 623.
10. Vaynshteyn A. Promezhutochnye zadachi i maksimal'no-minimal'naya teoriya sobstvennyy
znacheniy [Intermediate tasks and the maximum-minimum theory of eigenvalues],
Sb. Matematika [Collection of Mathematics], 1964, 8:5, pp. 91-101.
11. Weinstein A. and Stenger W. Intermediate Problems for Eigenvalues. New York and London, 1972.
12. Weinstein A. On intermediate eigenvalues problems maximum-minimum theory and Kolmogorov-
Ravlovitz n-widths, V sb. Kompleksnyy analiz i ego prilozheniya [In the collection Complex
analysis and its applications]. Moscow: Nauka, 1978, pp. 92-101.
13. Guld S. Variatsionnye metody v zadachakh na sobstvennye znacheniya [Variational methods
in eigenvalue problems]. Moscow: Mir, 1970.
14. Klovo A.G. Zadachi na sobstvennye znacheniya dlya odnogo lineynogo parametrizovannogo
operatora. Dep. VINITI № 5428-80, 24 dek. 1980 [Eigenvalue problems for one linear
parametrized operator. Dep. VINITI No. 5428-80, 24 Dec. 1980], 34 p.
15. Klovo A.G. Nekotorye svoystva obobshchennykh trigonometricheskikh sistem [Some properties
of generalized trigonometric systems], «Donetskie chteniya 2018: obrazovanie, nauka,
innovatsii, kul'tura i vyzovy sovremennosti». Mater. III Mezhdunarodnoy nauchnoy
konferentsii. DNR. Donetsk. T. 1 Fiziko-matematicheskie i tekhnicheskie nauki ["DonetskReadings 2018: education, science, innovation, culture and challenges of our time": Materials
of the III International Scientific Conference. DNR. Donetsk. Vol. 1 Physical, mathematical
and technical sciences], 2018, pp. 349-350.
16. Klovo A.G., Kuznetsov A.E., Kuznetsov R.E., Chistyakova T.A. Postroenie i svoystva
obobshchennykh trigonometricheskikh sistem nechetnogo poryadka [Construction and properties
of generalized trigonometric systems of odd order], Mater. X mezhdunarodnoy nauchnotekhnicheskoy
konferentsii v ramkakh V mezhdunarodnogo nauchnogo foruma Donetskoy
narodnoy respubliki [Materials of the X International Scientific and Technical Conference
within the framework of the V International Scientific Forum of the Donetsk People's Republic].
Donetsk: DONNTU, 2019, pp. 25-29.
17. Klovo A.G., Kupovykh G.V., Chistyakova T.A. Obobshchennye trigonometricheskie sistemy i
nekotorye prilozheniya [Generalized trigonometric systems and some applications], Mater.
VI mezhdunarodnoy nauchno-tekhnicheskoy konferentsii «Sovremennye informatsionnye
tekhnologii v obrazovanii i nauchnykh issledovaniyakh» (SITONI-2019). DNR [Materials of
the VI International Scientific and Technical Conference "Modern Information Technologies
in Education and scientific research" (SITONI-2019). DNR]. Donetsk, 2019, pp. 53-63.
18. Klovo A.G., Kupovykh G.V., Chistyakova T.A. Ob odnom podkhode k trigonometrii [About
one approach to trigonometry], Mater. IV-y Vserossiyskoy nauchno-metodicheskoy konferentsii
s mezhdunarodnym uchastiem «Informatsionnye i innovatsionnye tekhnologii v nauke i
obrazovanii» (IiITO-2019) [Materials of the ivth All-Russian Scientific and Methodological
Conference with international participation "Information and Innovative technologies in Science
and Education" (IIITE-2019)]. Rostov-on-Don, 2020, pp. 467-473.
19. Klovo A.G., Kupovykh G.V., Chistyakova T.A. Nekotorye svoystva i prilozheniya
obobshchennykh trigonometricheskikh sistem [Some properties and applications of generalized
trigonometric systems], Mater. Vserossiyskoy nauchno-metodicheskoy konferentsii «Aktual'nye
problemy prepodavaniya matematicheskikh i estestvenno-nauchnykh distsiplin v
obrazovatel'nykh organizatsiyakh vysshego obrazovaniya» [Materials of the All-Russian Scientific
and methodological Conference "Actual problems of teaching mathematical and natural science
disciplines in educational institutions of higher education"]. Kostroma, 2020, pp. 72-82.
20. Klovo A.G., Kupovykh G.V., Lyapunova I.A., Chistyakova T.A., Kuznetsov A.E., Kuznetsov
R.E. Svoystva OTS proizvol'nogo poryadka [Properties of the OTS of arbitrary order], Mater.
V Mezhdunarodnoy nauchnoy konferentsii «Donetskie chteniya 2020: obrazovanie, nauka,
innovatsii, kul'tura i vyzovy sovremennosti». Fiziko-matematicheskie i tekhnicheskie nauki
[Materials of the V International Scientific Conference "Donetsk Readings 2020: education,
science, innovation, culture and Modern challenges". Physico-mathematical and technical
sciences]. Part 1. Donetsk, 2020, pp. 155-157.
Опубликован
2021-11-14
Выпуск
Раздел
РАЗДЕЛ II. ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ