МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ОБ ОПТИМАЛЬНОМ УПРАВЛЕНИИ СТРУНОЙ

  • Г. В. Куповых Южный федеральный университет
  • А.Г. Клово Южный федеральный университет
  • И.А. Ляпунова Южный федеральный университет
Ключевые слова: Управление, колебания струны, синтез, оптимальное управление, управляющая функция, краевая задача

Аннотация

Общепринято, что задачи оптимального управления или задачи проектирования
системы определяют для заданного объекта или системы объектов управления закон или
некоторую управляющую последовательность действий, которые обеспечивают максимум
или минимум заданной совокупности критериев качества системы. При этом может рас-
сматриваться задача быстродействия, т.е. задача о приведении системы в заданное со-
стояние за наименьшее время. Также изучаются задачи минимизации заданного функцио-
нала при фиксированном времени управления системой. Оптимальное управление тесно
связано с выбором наиболее рациональных режимов управления сложными объектами.
Проблеме управления посвящено много работ, кроме того в настоящее время подобными
исследованиями занимаются известные математические школы. В задачах с сосредото-
ченными параметрами исследуемые системы описываются обыкновенными дифференци-
альными уравнениями или их системами. В этом случае важную роль в таком исследовании
играет принцип максимума Понтрягина. Для уравнений с частными производными говорят
о системах с распределенными параметрами. В данной работе исследуется возможность
синтеза оптимального управления одной системой с распределенными параметрами. Рас-
смотрена модель колебаний струны под воздействием управляющих функций в граничных
условиях. Показана роль выбора минимизируемого функционала в создании возможностей
синтеза оптимального управления. В этом случае осуществляется поиск управляющего
воздействия в каждой точке временного промежутка, что приводит к возможности по-
строения его в явном виде. Сформулированы условия, при которых существуют всюду оп-
тимальные управления в соответствующих функциональных пространствах. В конкрет-
ной постановке задачи всюду оптимальное управление построено в явном виде.

Литература

1. Il'in V.A., Moiseev E.I. Optimizatsiya granichnykh upravleniy kolebaniyami struny [Optimization
of boundary controls for string vibrations], Uspekhi matematicheskikh nauk [Advances in
mathematical Sciences], 2005, 60:6 (366), pp. 89-114.
2. Moiseev E.I., KHolomeeva A.A., Frolov A.A. Granichnoe upravlenie smeshcheniem
protsessom kolebaniy pri granichnom uslovii tipa tormozheniya za vremya, men'shee
kriticheskogo [Boundary control of the displacement of the oscillation process under a boundary
condition of the braking type for a time less than the critical one], Itogi nauki i tekhniki.
Seriya «Sovremennaya matematika i ee prilozheniya. Tematicheskie obzory» [Results of science
and technology. Series “Modern mathematics and its applications. Thematic review”],
2019, No. 160, pp. 74-84.
3. Moiseev E.I., Frolov A.A. Granichnoe upravlenie protsessom kolebaniy struny pri uslovii
soprotivleniya sredy na pravom kontse za vremya, men'shee kriticheskogo [Boundary control
of the string oscillation process under the condition of the medium resistance at the right end
for a time less than the critical one], Differentsial'nye uravneniya [Differential equations],
2019, Vol. 55, No. 4, pp. 555-566.
4. Moiseev E.I., Moiseev T.E., Popivanov N.I., Kholomeeva A.A. Razreshimost' nelokal'nykh
kraevykh zadach dlya uravneniya smeshannogo tipa s razlichnymi kraevymi usloviyami [Solvability
of non-local boundary value problems for a mixed-type equation with different boundary
conditions], Differentsial'nye uravneniya [Differential equations], 2018, Vol. 54, No. 10,
pp. 541-552.
5. Il'in V.A. Izbrannye trudy [Selected works]: in 2 vol. Vol. 1. Moscow: Izd-vo OOO «Makspress
», 2008, 727 p.
6. Moiseev E.I., Kholomeeva A.A. Optimal'noe granichnoe upravlenie smeshcheniem na odnom
kontse struny pri zadannoy uprugoy sile na drugom kontse [Optimal boundary control of displacement
at one end of the string for a given elastic force at the other end], Tr. IMM UrO
RAN [Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN], 2011, 17:2, pp. 151-158.
7. Popov A.Yu. Minimizatsiya variatsii proizvodnoy granichnogo upravleniya gasheniem
kolebaniy struny s odnim zakreplennym kontsom [Minimization of the variation of the derivative
of the boundary control for damping the vibrations of a string with one fixed end],
Doklady RAN [Reports of the Russian Academy of Sciences], 2006, 409:1, pp. 22-25
8. Ladyzhenskaya O.A. Kraevye zadachi matematicheskoy fiziki [Boundary value problems of
mathematical physics]. Moscow: Nauka, 1973, 407 p.
9. Ladyzhenskaya O.A. Smeshannaya zadacha dlya giperbolicheskikh uravneniy [Mixed problem
for hyperbolic equations]. Moscow: Gostekhizdat, 1953, 282 p.
10. Sobolev S.L. Nekotorye primeneniya funktsional'nogo analiza v matematicheskoy fizike [Some
applications of functional analysis in mathematical physics]. Moscow: Nauka, 1988, 336 p.
11. Mikhaylov V.P. Differentsial'nye uravneniya v chastnykh proizvodnykh [Differential equations
in partial derivatives]. Moscow: Nauka, 1976, 448 p.
12. Petrovskiy I.G. Lektsii ob uravneniyakh s chastnymi proizvodnymi [Lectures on partial differential
equations]. Moscow; Leninsrad: GITTL, 1953, 360 p.
13. Steklov V.A. Osnovnye zadachi matematicheskoy fiziki [Main problems of mathematical physics].
Moscow: Nauka, 1983, 432 p.
14. Krylov A.N. O nekotorykh differentsial'nykh uravneniyakh matematicheskoy fiziki,
imeyushchikh prilozheniya v tekhnicheskikh voprosakh [On some differential equations of
mathematical physics that have applications in technical issues]. Moscow; Leninsrad: GITTL,
1950, 368 p.
15. Il'in V.A. O razreshimosti smeshannykh zadach dlya giperbolicheskogo i parabolicheskogo
uravneniy [On the solvability of mixed problems for hyperbolic and parabolic equations],
Uspekhi matematicheskikh nauk [Advances in mathematical Sciences], 1960, 15:2 (92),
pp. 97-154.
16. Egorov Yu.V. Nekotorye voprosy teorii optimal'nogo upravleniya [Some questions of optimal
control theory], Zhurnal vychislitel'noy matematiki i matematicheskoy fiziki [Journal of computational
mathematics and mathematical physics], 1963, Vol. 3, No. 5, pp. 887-904.
17. Egorov Yu.V. Neobkhodimye usloviya optimal'nosti upravleniya v banakhovykh
prostranstvakh [Necessary conditions for optimal control in Banach spaces], Matem. sb.
[Mathematical collection], 1964, Vol. 64 (106), No. 1, pp. 79-101.
18. Lattes R., Lions Zh.-L. Metod kvaziobrashcheniya i ego prilozheniya [The method of quasiconversion
and its applications]. Moscow: Mir, 1970, 335 p.
19. Lions Zh.-L. Optimal'noe upravlenie sistemami, opisyvaemymi uravneniyami s chastnymi
proizvodnymi [Optimal control of systems described by partial differential equations]. Moscow:
Mir, 1972, 414 p.
20. Klovo A.G., Goncharov A.V. Usloviya vsyudu-optimal'nosti upravleniya odnoy sistemoy s
raspredelennymi parametrami [Conditions for everywhere-optimal control of a single system
with distributed parameters], Mater. IV Mezhdunarodnoy nauchnoy konferentsii «Donetskie
chteniya 2019: obrazovanie, nauka, innovatsii, kul'tura i vyzovy sovremennosti». T. 1. Fizikomatematicheskie
i tekhnicheskie nauki [Proceedings of the IV International scientific conference
"Donetsk read 2019: education, science, culture, innovations and challenges". Vol. 1.
Physico-mathematical and technical Sciences. Part 1]. Donetsk: DonNU, 2019, pp. 27-30.
21. Klovo A.G., Kupovykh G.V., Lyapunova I.A. O vozmozhnosti sinteza optimal'nogo upravleniya
kolebaniyami struny [On the possibility of synthesizing optimal control of string vibrations],
Mezhdunarodnaya nauchnaya konferentsii po differentsial'nym uravneniyam i dinamicheskim
sistemam. Tezisy dokladov [International scientific conference on differential equations and
dynamical systems. Thesis of reports]. Vladimir: Izd-vo VlGU, 2020, pp. 72-73.
Опубликован
2020-11-22
Выпуск
Раздел
РАЗДЕЛ III. СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ И НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА