КОМПЬЮТЕРНО-ОРИЕНТИРОВАННЫЙ ПОДХОД К АНАЛИЗУ УСТОЙЧИВОСТИ ПО ЛЯПУНОВУ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Ключевые слова:
Устойчивость по Ляпунову, компьютерный анализ устойчивости, численное моделирование устойчивостиАннотация
Разрабатывается подход к анализу устойчивости по Ляпунову систем нелинейных
обыкновенных дифференциальных уравнений. Подход основан на векторных мультиплика-
тивных преобразованиях разностных схем численного интегрирования при ограничениях
общего вида. В ходе преобразований величина возмущения решения определяется в виде
бесконечного векторного произведения умноженного на возмущение начальных данных.
Следовательно, бесконечное векторное произведение определяет характер устойчивости
системы. Отсюда следуют критерии устойчивости и асимптотической устойчивости
нелинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений в мультипликативной
форме. Математическая конструкция критериев влечет возможность их программной
реализации, что служит основой компьютеризации анализа устойчивости по Ляпунову.
Необходимая в процессе программной реализации замена бесконечного векторного произ-
ведения на конечное произведение, сохраняет достоверность анализа устойчивости по
предложенным критериям. Далее конструируются разновидности критериев устойчиво-
сти в аддитивной и логарифмической форме эквивалентные ранее полученным критериям.
При дополнительных ограничениях строятся критерии устойчивости по характеру пове-
дения правой части нелинейной системы ОДУ и ее производных. Представлен программ-
ный и численный эксперимент по анализу устойчивости систем нелинейных ОДУ на основе
полученных критериев. Эксперимент сводится к оценке величины из левой части критери-
ев. Ее ограниченное изменение соответствует устойчивости, монотонное стремление к
нулю характеризует асимптотическую устойчивость, неограниченный рост является
признаком неустойчивости. По результатам эксперимента однозначно установлен харак-
тер устойчивости исследуемых систем. Предложенный подход дает возможность на
практике выполнить анализ устойчивости по Ляпунову нелинейной системы обыкновенных
дифференциальных уравнений в режиме реального времени.
