КОМПЬЮТЕРНО-ОРИЕНТИРОВАННЫЙ ПОДХОД К АНАЛИЗУ УСТОЙЧИВОСТИ ПО ЛЯПУНОВУ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Аннотация
Разрабатывается подход к анализу устойчивости по Ляпунову систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Подход основан на векторных мультиплика- тивных преобразованиях разностных схем численного интегрирования при ограничениях общего вида. В ходе преобразований величина возмущения решения определяется в виде бесконечного векторного произведения умноженного на возмущение начальных данных. Следовательно, бесконечное векторное произведение определяет характер устойчивости системы. Отсюда следуют критерии устойчивости и асимптотической устойчивости нелинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений в мультипликативной форме. Математическая конструкция критериев влечет возможность их программной реализации, что служит основой компьютеризации анализа устойчивости по Ляпунову. Необходимая в процессе программной реализации замена бесконечного векторного произ- ведения на конечное произведение, сохраняет достоверность анализа устойчивости по предложенным критериям. Далее конструируются разновидности критериев устойчиво- сти в аддитивной и логарифмической форме эквивалентные ранее полученным критериям. При дополнительных ограничениях строятся критерии устойчивости по характеру пове- дения правой части нелинейной системы ОДУ и ее производных. Представлен программ- ный и численный эксперимент по анализу устойчивости систем нелинейных ОДУ на основе полученных критериев. Эксперимент сводится к оценке величины из левой части критери- ев. Ее ограниченное изменение соответствует устойчивости, монотонное стремление к нулю характеризует асимптотическую устойчивость, неограниченный рост является признаком неустойчивости. По результатам эксперимента однозначно установлен харак- тер устойчивости исследуемых систем. Предложенный подход дает возможность на практике выполнить анализ устойчивости по Ляпунову нелинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений в режиме реального времени.
