ОБОБЩЕННЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ С ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМИ ВНУТРЕННИМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ
Аннотация
При решении задач, связанных с исследований прочностных свойств различных конст- рукций, часто используются некоторые наборы тригонометрических (синусы или косинусы), а также гиперболических функций, которые циклично при взятии производных последова- тельно переходят друг в друга. Эти наборы состоят из двух функций, причем последняя из этих функций при дифференцировании переходит в первую, взятую соответственно со зна- ком «плюс» (тригонометрическая система первого типа) или «минус» (тригонометрическая система второго типа). Тригонометрические и гиперболические функции также использу- ются при решении многих прикладных задач, математические модели которых содержат вторые производные по пространственным переменным. Если математическая модель со- держит производные четвертого порядка по пространственным переменным, то при реше- нии соответствующих задач можно использовать функции, четвертые производные кото- рых пропорциональным этим функциям. Известен ряд работ по общей теории систем функ- ций, где описаны обобщенные тригонометрические системы (ОТС) функций, производные определенного порядка которых пропорциональны этим функциям. В данной работе эта теория развивается в направлении исследования квадратичных форм функций, составляю- щих ОТС. Показано, что квадратичные формы функций ОТС могут сами по себе являться функциями ОТС того же порядка (первого или второго типов). Полученные тождества и созданная теория используется для решения спектральных задач для оператора четвертого порядка для функций с определенными условиями. Специфика рассматриваемых задач заклю- чается в том, что помимо стандартных граничных условий имеются дополнительные усло- вия на внутренней границе. Эти условия недостаточны для того, чтобы автономно решать задачу в каждой отдельной области в которых заданы исследуемые функции. Использование установленных в работе свойств ОТС позволяет решать такие задачи во всей рассматри- ваемой области.
