ПРИМЕНЕНИЕ НЕЛОКАЛЬНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ В УПРАВЛЕНИИ ПРОЦЕССАМИ В ГАЗОВЫХ И ЖИДКИХ СРЕДАХ

Аннотация

Приведены результаты исследования внутренней краевой задачи для уравнения смешанного гиперболо-параболического типа, характеризующегося наличием кратных характеристик. Область, в которой рассматривается уравнение, является конечной и односвязной, состоящей из двух частей: гиперболической и параболической. Это разделение области обусловлено спецификой рассматриваемого уравнения. Граница между гиперболической и параболической областями представляет собой линию вырождения, где происходит переход от гиперболического к параболическому типу уравнения. Ключевой особенностью поставленной задачи является краевое условие, заданное в гиперболической части области. Это условие содержит связывает между собой значения искомой функции в точках, принадлежащим характеристикам области, что придает задаче значительную сложность. Цель работы – доказательство теоремы существования и единственности решения поставленной краевой задачи. Доказательство проводится для различных случаев, определяемых дискриминантом кубического характеристического уравнения, связанного с уравнением в частных производных. Различные значения дискриминанта указывают на различные качественные свойства решений и требуют индивидуального подхода в доказательстве. Для доказательства единственности решения используется метод интегралов энергии. Этот метод позволяет установить определенные энергетические неравенства, связывающие решение с заданными функциями и их точечными значениями в краевом условии. Полученные неравенства накладывают ограничения на допустимые значения параметров задачи, гарантируя единственность решения. Нарушение этих ограничений может привести к некорректности задачи или к отсутствию единственного решения. Вопрос существования решения исследуется путем сведения задачи к эквивалентной системе функциональных соотношений, связывающих следы искомого решения и его производной на линии вырождения. Эти следы рассматриваются отдельно для гиперболической и параболической частей области. Дальнейшее исследование сводится к решению интегрального уравнения Фредгольма второго рода. Важно отметить, что ядро этого интегрального уравнения имеет слабую особенность, а правая часть непрерывна. Безусловная разрешимость этого интегрального уравнения, а следовательно, и существование решения исходной задачи, выводится из ранее доказанной единственности решения. Это существенный момент, демонстрирующий тесную связь между существованием и единственностью решения