ПРОЕЦИРОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ РИККАТИ В ПОЛИНОМЫ ВОЛЬТЕРРА C ПРИМЕНЕНИЕМ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Ключевые слова:
Дифференциальное уравнение Риккати, ряд Вольтерра, функциональная производная Фреше, метод конечных элементов, имитационное моделированиеАннотация
Данная статья касается проблем моделирования нелинейных систем с памятью. Це-
лью работы является преобразование в операторный вид нелинейного дифференциального
уравнения Риккати. Приводится краткий обзор подходов в моделировании нелинейных ди-
намических систем. Используя модель в виде функционального ряда Вольтерра, в работе
решаются задачи проецирования исходного уравнения в дифференциальные уравнения с
ядрами Вольтерра и решения полученных уравнений. Приведено краткое описание метода
проецирования в гиперпространство с применением функциональной производной Фреше.
Показано, что результат проецирования есть дифференциальные уравнения с решениями в
виде ядер Вольтерра. Линейное ядро есть решение обыкновенного дифференциального
уравнения, а ядра выше первого порядка находятся путем решения дифференциальных
уравнений в частных производных по переменным временной области. В работе рассмат-
ривается модель только с первыми двумя ядрами ряда. Особое внимание уделяется урав-
нению с билинейным ядром. Его поиск аналитическими методами более сложен относи-
тельно уравнения с линейным ядром, ввиду чего, в работе предпринята попытка расчета
численным методом. Дано подробное описание разработанного алгоритма расчета били-
нейного ядра методом конечных элементов. Применяя данный метод, общая операторная
модель будет иметь полуаналитическую структуру в виде суммы сверток с аналитиче-
ским линейным ядром и конечно-элементным билинейным ядром. Разработана оператор-
ная модель для слабо нелинейной системы. Для верификации данной модели проведено
имитационное моделирование. Вычислительный эксперимент заключался в получении пере-
ходной характеристики на типовой сигнал управления в виде функции Хевисайда. Исполь-
зуя дискретный аналог операции свертки, были рассчитаны отклики линеаризованной и
предложенной операторной модели. Полученные переходные характеристики сравнивались
с эталонным решением, в качестве которого было принято решение исходного нелинейного
уравнения методом Рунге-Кутта четвертого порядка. Показано, что разработанная опе-
раторная модель дает отклик ближе к эталонному, что подтверждается результатами
расчетов соответствующих невязок.
