ПРОЕЦИРОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ РИККАТИ В ПОЛИНОМЫ ВОЛЬТЕРРА C ПРИМЕНЕНИЕМ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Аннотация
Данная статья касается проблем моделирования нелинейных систем с памятью. Це-
лью работы является преобразование в операторный вид нелинейного дифференциального
уравнения Риккати. Приводится краткий обзор подходов в моделировании нелинейных ди-
намических систем. Используя модель в виде функционального ряда Вольтерра, в работе
решаются задачи проецирования исходного уравнения в дифференциальные уравнения с
ядрами Вольтерра и решения полученных уравнений. Приведено краткое описание метода
проецирования в гиперпространство с применением функциональной производной Фреше.
Показано, что результат проецирования есть дифференциальные уравнения с решениями в
виде ядер Вольтерра. Линейное ядро есть решение обыкновенного дифференциального
уравнения, а ядра выше первого порядка находятся путем решения дифференциальных
уравнений в частных производных по переменным временной области. В работе рассмат-
ривается модель только с первыми двумя ядрами ряда. Особое внимание уделяется урав-
нению с билинейным ядром. Его поиск аналитическими методами более сложен относи-
тельно уравнения с линейным ядром, ввиду чего, в работе предпринята попытка расчета
численным методом. Дано подробное описание разработанного алгоритма расчета били-
нейного ядра методом конечных элементов. Применяя данный метод, общая операторная
модель будет иметь полуаналитическую структуру в виде суммы сверток с аналитиче-
ским линейным ядром и конечно-элементным билинейным ядром. Разработана оператор-
ная модель для слабо нелинейной системы. Для верификации данной модели проведено
имитационное моделирование. Вычислительный эксперимент заключался в получении пере-
ходной характеристики на типовой сигнал управления в виде функции Хевисайда. Исполь-
зуя дискретный аналог операции свертки, были рассчитаны отклики линеаризованной и
предложенной операторной модели. Полученные переходные характеристики сравнивались
с эталонным решением, в качестве которого было принято решение исходного нелинейного
уравнения методом Рунге-Кутта четвертого порядка. Показано, что разработанная опе-
раторная модель дает отклик ближе к эталонному, что подтверждается результатами
расчетов соответствующих невязок.
Литература
Proceedings of IEEE, 1974, Vol. 62, Issue 8, pp. 1088-1119. Available at:
doi.org/10.1109/PROC.1974.9572.
2. Sokolov S.V., Pogorelov V.A. Stokhasticheskaya otsenka, upravlenie i identifikatciya v
vysokotochnykh navigacionnykh sistemakh [Stochastic estimation, control and identification
in high-precision navigation systems]. Moscow: Fizmatlit, 2016, 264 p.
3. Wang Y., Han J., Zhou W. Third-order Volterra kernel identification technique in aerodynamics,
Applied Mechanics and Materials, 2011, Vol. 52-54, pp. 618-623. Available at:
www.scientific.net/AMM.52-54.618.
4. Yartcev A.V. Ob upravlenii uglovym otkloneniem ramok elektromekhanicheskoy sistemy
posredstvom PD-regulyatora [On controlling the angular deviation of the electromechanical
system frames using a PD controller], Izvestiya YuFU. Tekhnicheskie nauki [Izvestiya SFedU.
Engineering Sciences], 2015, No. 4, pp. 139-149.
5. Cerone V., Razza V., Regruto D. One-shot set-membership identification of Wiener models
with polynomial nonlinearities, IFAC-PapersOnLine, 2015, Vol. 48, pp. 957-962.
6. Dreesen P., Ishteva M. Parameter estimation of parallel Wiener-Hammerstein systems by decoupling
their Volterra representations, IFAC-PapersOnLine, 2021, Vol. 54, pp. 457-462.
7. Apartcin A.S., Solodusha S.V. Ob optimizatsii amplitud testovykh signalov pri identifikatsii
yader Vol'terra [On optimization of test signal amplitudes when identifying Volterra kernels],
Avtomatika i telemekhanika [Automation and Remote Control], 2004, No. 3, pp. 116-124.
8. Solodusha S.V. K zadache modelirovaniya dinamiki teploobmennikov kvadratichnymi
polinomami Vol'terra [On the problem of modeling the dynamics of heat exchangers using
quadratic Volterra polynomials], Avtomatika i telemekhanika [Automation and Remote Control],
2014, No. 1, pp. 105-114.
9. Orcioni S. Improving the approximation ability of Volterra series identified with a crosscorrelation
method, Nonlinear Dynamics, 2014, Vol. 78, pp. 2861-2869.
10. Wang Y., Han j., Zhang T. Computation of Volterra Kernels' Identification to Riccati Nonlinear
Equation, 2010 3rd International Conference on Computer Science and Information Technology,
Chengdu, 2010, pp. 6-8. Available at: doi.org/10.1109/ICCSIT.2010.5563585.
11. Taran V.N., Kislovskiy E.Yu. Funktsional'nyy metod parametrizatsii modeli Vol'terra-Vinera [Functional
method for parametrization Volterra-Wiener model], Inzhenernyy vestnik Dona [Engineering
Journal of Don], 2021, No. 6. Available at: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n6y2021/7049.
12. Hassouna S., Coirault P., Poinot T. Non-linear System Identification Using Volterra Series
Expansion, IFAC Proceedings Volumes, 2000, Vol. 33, Issue 15, pp. 947-952.
13. Flake R.H. Volterra Series Representation of Time-varying Non-linear Systems, IFAC Proceedings
Volumes, 1963, Vol. 1, pp. 91-99.
14. Taran A.N., Taran V.N. Ispol'zovanie splaynovykh ryadov Vol'terra-Vinera pri analize
elektricheskikh tsepey [Using Volterra-Wiener spline series in the analysis of electrical circuits],
Radiotekhnika i elektronika [Radio Engineering and Electronics], 2014, Vol. 59, No. 7,
pp. 702-710.
15. Bobreshov A.M., Mymrikova N.N. Problemy analiza sil'no nelineynykh rezhimov elektronnykh
ustroystv na osnove ryadov Vol'terry [Problems of analysis of highly nonlinear modes of electronic
devices based on Volterra series], Vestnik Voronezhskogo gosudarstvennogo
universiteta. Seriya: Fizika. Matematika [Bulletin of Voronezh State University. Series: Physics.
Mathematics], 2013, No. 2, pp. 15-25.
16. Kislovskiy E., Taran V., Taran A. Parameterization of kernels of the Volterra series for systems
given by nonlinear differential equations, International Scientific Conference “Fundamental and
Applied Scientific Research in the Development of Agriculture in the Far East” (AFE-2022). Tashkent,
Uzbekistan, 2023, pp. 1-8. Available at: doi.org/10.1051/e3sconf/202337102045.
17. Ditkin V.A., Prudnikov A.P. Operatsionnoe ischislenie po dvum peremennym i ego
prilozheniya [Operational calculus in two variables and its applications]. Moscow: Fizmatgiz,
1958, 178 p.
18. Ditkin V.A., Prudnikov A.P. Operatsionnoe ischislenie [Operational calculus]. Moscow:
Vysshaya shkola, 1975, 407 p.
19. Sekulovich M. Metod konechnykh elementov [Finite element method]. Moscow: Stroyizdat,
1993, 664 p.
20. Sil'vester P., Ferrari R. Metod konechnykh elementov dlya radioinzhenerov inzhenerovelektrikov
[Finite element method for radio engineers and electrical engineers]. Moscow: Mir,
1986, 229 p.
