ПРОЕЦИРОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ РИККАТИ В ПОЛИНОМЫ ВОЛЬТЕРРА C ПРИМЕНЕНИЕМ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Аннотация
Данная статья касается проблем моделирования нелинейных систем с памятью. Це- лью работы является преобразование в операторный вид нелинейного дифференциального уравнения Риккати. Приводится краткий обзор подходов в моделировании нелинейных ди- намических систем. Используя модель в виде функционального ряда Вольтерра, в работе решаются задачи проецирования исходного уравнения в дифференциальные уравнения с ядрами Вольтерра и решения полученных уравнений. Приведено краткое описание метода проецирования в гиперпространство с применением функциональной производной Фреше. Показано, что результат проецирования есть дифференциальные уравнения с решениями в виде ядер Вольтерра. Линейное ядро есть решение обыкновенного дифференциального уравнения, а ядра выше первого порядка находятся путем решения дифференциальных уравнений в частных производных по переменным временной области. В работе рассмат- ривается модель только с первыми двумя ядрами ряда. Особое внимание уделяется урав- нению с билинейным ядром. Его поиск аналитическими методами более сложен относи- тельно уравнения с линейным ядром, ввиду чего, в работе предпринята попытка расчета численным методом. Дано подробное описание разработанного алгоритма расчета били- нейного ядра методом конечных элементов. Применяя данный метод, общая операторная модель будет иметь полуаналитическую структуру в виде суммы сверток с аналитиче- ским линейным ядром и конечно-элементным билинейным ядром. Разработана оператор- ная модель для слабо нелинейной системы. Для верификации данной модели проведено имитационное моделирование. Вычислительный эксперимент заключался в получении пере- ходной характеристики на типовой сигнал управления в виде функции Хевисайда. Исполь- зуя дискретный аналог операции свертки, были рассчитаны отклики линеаризованной и предложенной операторной модели. Полученные переходные характеристики сравнивались с эталонным решением, в качестве которого было принято решение исходного нелинейного уравнения методом Рунге-Кутта четвертого порядка. Показано, что разработанная опе- раторная модель дает отклик ближе к эталонному, что подтверждается результатами расчетов соответствующих невязок.
