ПОБИТОВЫЕ ГОМОМОРФНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ЧИСЛАМИ С ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ
Аннотация
Гомоморфная криптография – это особый вид криптографии, который позволяет
выполнять операции над зашифрованными данными без их предварительной расшифровки.
Благодаря этим особенностям гомоморфная криптография может эффективно приме-
няться для выполнения безопасных облачных вычислений. Для решения различных приклад-
ных задач требуется поддержка всех математических операций, а также поддержка
рациональных чисел, чтобы эффективно реализовать операцию деления и снизить потери
точности во время округлений результата. Также для повышения точности вычислений
необходимо использовать числа в формате с плавающей точкой, однако эта тема недос-
таточно проработана. Поддержка всех арифметических и логических операций в рамках
одной схемы гомоморфного шифрования позволит выполнить гомоморфную реализацию
практически любого алгоритма обработки данных, а представление чисел в формате с
плавающей точкой позволит повысить точность вычислений и максимальную размерность
обрабатываемых данных при том же объеме потребляемой памяти, если сравнивать с
побитовым гомоморфным алгоритмом над целыми числами. К примеру, для решения СЛАУ
методом Гаусса необходима поддержка операций разности, умножения, деления и сравне-
ния чисел, а также необходимо представлять числа в формате с плавающей точкой, иначе
во время обратного хода после каждой операции деления будет возникать округление ре-
зультата, и ошибка будет накапливаться. В данной статье рассматривается возмож-
ность выполнения гомоморфных побитовых операций над числами в формате с плавающей
точкой. Рассматривается наиболее распространенный формат представление чисел в
формате с плавающей точкой – IEEE 754. Рассматриваются альтернативные решения
для гомоморфной обработки рациональных чисел. Выполнен анализ возможности реализа-
ции побитовых гомоморфных арифметических операций – сложения, разности, умножения
и деления, над зашифрованными гомоморфно числами в формате с плавающей точкой.
Анализируются сложности, возникающие при реализации гомоморфных арифметических
операций, рассматриваются способы их решения и приводятся результирующие алгорит-
мы над гомоморфно зашифрованными данными. Выполняется анализ полученных резуль-
татов и даются рекомендации касательно выбора способа представления гомоморфно
зашифрованных данных в зависимости от решаемой задачи.
Литература
gomomorfnogo shifrovaniya na osnove obucheniya s oshibkami [Comparative analysis of
homomorphic encryption algorithms based on learning with errors], Tr. instituta sistemnogo
programmirovaniya RAN [Proceedings of the Institute for System Programming of the RAS],
2020, Vol. 8, No. 2, pp. 37-52.
2. Babenko L.K., Rusalovskiy I.D. Biblioteka polnost'yu gomomorfnogo shifrovaniya tselykh
chisel [Library of fully homomorphic encryption of integer numbers], Izvestiya YuFU.
Tekhnicheskie nauki [Izvestiya SFedU. Engineering Sciences], 2020, No. 2, pp. 79-88.
3. Babenko L.K., Rusalovskiy I.D. Metod realizatsii gomomorfnogo deleniya [Method for implementing
homomorphic division], Izvestiya YuFU. Tekhnicheskie nauki [Izvestiya SFedU. Engineering
Sciences], 2020, No. 4, pp. 212-221.
4. Babenko L.K., Trepacheva A.V. O nestoykosti dvukh simmetrichnykh gomomorfnykh
kriptosistem, osnovannykh na sisteme ostatochnykh klassov [On the instability of two symmetric
homomorphic cryptosystems based on a system of residual classes], Trudy Instituta
sistemnogo programmirovaniya RAN [Proceedings of the Institute of System Programming of
the Russian Academy of Sciences], 2019, Vol. 18, No. 1, pp. 230-262.
5. Arakelov G.G. Voprosy primeneniya prikladnoy gomomorfnoy kriptografii [Issues of application
of applied homomorphic cryptography], Voprosy kiberbezopasnosti [Cybersecurity issues],
2019, No. 5 (33), pp. 70-74.
6. Shachina V.A. Gomomorfnaya kriptografiya v bazakh dannykh [Homomorphic cryptography
in databases], Prikladnaya matematika i informatika: sovremennye issledovaniya v oblasti
estestvennykh i tekhnicheskikh nauk: Mater. V Mezhdunarodnoy nauchno-prakticheskoy
konferentsii (shkoly-seminara) molodykh uchenykh, Tol'yatti, 22–24 aprelya 2019 goda [Applied
mathematics and computer science: modern research in the field of natural and technical
sciences: Proceedings of the V International scientific and practical conference (schoolseminar)
of young scientists, Tolyatti, April 22–24, 2019], 2019, pp. 468-473.
7. Trusova Yu.O., Vovk N.N., Anisimov Yu.A. Uvelichenie skorosti gomomorfnogo shifrovaniya
na osnove kriptosistemy El'-Gamalya [Increasing the speed of homomorphic encryption based
on the El-Gamal cryptosystem], Matematika i matematicheskoe modelirovanie: Sb. materialov
XIII Vserossiyskoy molodezhnoy nauchno-innovatsionnoy shkoly, Sarov, 02–04 aprelya 2019
goda [Mathematics and mathematical modeling: Collection of materials of the XIII All-
Russian Youth Scientific and Innovation School, Sarov, April 02–04, 2019], 2019, pp. 97-98.
8. Garazha A.A., Gerasimov I.Yu., Nikolaev M.V., Chizhov I.V. Ob ispol'zovanii bibliotek
polnost'yu gomomorfnogo shifrovaniya [On the use of fully homomorphic encryption libraries],
International Journal of Open Information Technologies, 2021, Vol. 9, No. 3, pp. 11-22.
9. Volyanskiy Yu. Usovershenstvovanie sistemy poiska opasnykh slov s ispol'zovaniem
gomomorfnogo shifrovaniya [Improving the search system for dangerous words using
homomorphic encryption], Innovatsii. Nauka. Obrazovanie [Innovations. The science.
Education], 2021, No. 38, pp. 687-695.
10. Arakelov G.G., Mikhalev A.V. Kombinatsiya chastichno gomomorfnykh skhem [Combination
of partially homomorphic schemes], Elektronnye informatsionnye sistemy [Electronic information
systems], 2020, No. 3 (26), pp. 83-92.
11. Shiryaev E.M., Sotnikova N.A., Vashchenko I.S., Kuchukov V.A. Issledovanie proizvoditel'nosti
polnost'yu gomomorfnogo shifrovaniya dlya zadach videoobrabotki [Study of the performance
of fully homomorphic encryption for video processing tasks], Nauka i innovatsii v XXI veke:
aktual'nye voprosy, otkrytiya i dostizheniya: Sb. statey XXII Mezhdunarodnoy nauchnoprakticheskoy
konferentsii, Penza, 12 dekabrya 2020 goda [Science and innovation in the 21st
century: current issues, discoveries and achievements: Collection of articles of the XXII International
Scientific and Practical Conference, Penza, December 12, 2020], 2020, pp. 57-59.
12. Petrenko A.S. O realizatsii polnost'yu gomomorfnoy kriptosistemy Dzhentri-Khalevi-Smarta
[On the implementation of a fully homomorphic Gentry-Halevi-Smart cryptosystem],
The 2019 Symposium on Cybersecurity of the Digital Economy - CDE'19: Tret'ya
mezhdunarodnaya nauchno-tekhnicheskaya konferentsiya, Kazan', 22–24 maya 2019 goda
[The 2019 Symposium on Cybersecurity of the Digital Economy - CDE'19: Third International
Scientific and Technical Conference, Kazan, May 22–24, 2019], 2019, pp. 272-275.
13. Petrenko A.S. O realizatsii chastichno gomomorfnoy kriptosistemy Peye [On the implementation
of the partially homomorphic Payeux cryptosystem], The 2019 Symposium on
Cybersecurity of the Digital Economy - CDE'19: tret'ya mezhdunarodnaya nauchnotekhnicheskaya
konferentsiya, Kazan', 22–24 maya 2019 goda [The 2019 Symposium on
Cybersecurity of the Digital Economy - CDE'19: third international scientific and technical
conference, Kazan, May 22–24, 2019], 2019, pp. 269-271.
14. Minakov S.S. Osnovnye kriptograficheskie mekhanizmy zashchity dannykh, peredavaemykh v
oblachnye servisy i seti khraneniya dannykh [Basic cryptographic mechanisms for protecting
data transmitted to cloud services and data storage networks], Voprosy kiberbezopasnosti
[Issues of cybersecurity], 2020, No. 3 (37), pp. 66-75.
15. Deryabin M.A., Kucherov N.N. Obzor bezopasnykh metodov shifrovaniya dlya oblachnykh
vychisleniy [Review of secure encryption methods for cloud computing], Novosti nauki v APK
[Science news in agro-industrial complex], 2019, No. 3 (12), pp. 298-303.
16. Babenko L.K., SHumilin A.S., Alekseev D.M. Algoritm obespecheniya zashchity
konfidentsial'nykh dannykh oblachnoy meditsinskoy informatsionnoy sistemy [Algorithm for
ensuring the protection of confidential data of a cloud medical information system], Izvestiya
YuFU. Tekhnicheskie nauki [Izvestiya SFedU. Engineering Sciences], 2021, No. 5 (222),
pp. 120-134.
17. Martishin S.A., Khrapchenko M.V. Osnovnye podkhody k rabote s konfidentsial'nymi dannymi
v oblachnykh vychisleniyakh [Basic approaches to working with confidential data in cloud
computing], Obrazovanie. Tekhnologii. Kachestvo: Mater. V Vserossiyskoy nauchnoprakticheskoy
konferentsii, Saratov, 26 marta 2021 goda [Education. Technologies. Quality:
Materials of the V All-Russian Scientific and Practical Conference, Saratov, March 26, 2021],
2021, pp. 125-129.
18. Babenko Liudmila, Rusalovsky Ilya. Homomorphic operations on integers via operations on
bits, Proceedings - 2022 15th International Conference on Security of Information and Networks,
SIN 2022, 2022.
19. Rusalovskiy I.D., Babenko L.K., Makarevich O.B. Razrabotka metodov gomomorfnogo
deleniya [Development of homomorphic division methods], Izvestiya YuFU. Tekhnicheskie
nauki [Izvestiya SFedU. Engineering Sciences], 2022, No. 4 (228), pp. 103-112.
20. IEEE Standard for Floating-Point Arithmetic, IEEE Computer Society, IEEE Std 754, 2019.
