КОМПЬЮТЕРНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Аннотация
Предложен подход к анализу устойчивости в смысле Ляпунова систем обыкн о-
венных дифференциальных уравнений. В основе подхода лежат критерии устойчив о-
сти в виде необходимых и достаточных условий, полученные на основе матричных
мультипликативных преобразований разностных схем численного интегрирования.
Матричная, мультипликативная форма критериев влечет возможность их цикличе-
ской программной реализации в виде цикла по числу сомножителей. Математически
обосновано, что необходимая в процессе программирования замена бесконечного
матричного произведения на конечное произведение, сохраняет достоверность анал и-
за устойчивости по предложенным критериям. Проведено исследование зависимости
достоверности компьютерного анализа устойчивости от погрешности разностного
решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений. С целью повышения
точности разностных приближений решения и линеаризации системы используется
метод варьируемого кусочно-полиномиального приближения решения. Метод дает
непрерывные и непрерывно-дифференцируемые приближения искомых решений на
всем промежутке интегрирования. Требуемые приближения получаются на осно ве
кусочно-полиномиальной аппроксимации интерполяционными полиномами Ньютона,
преобразованными к форме полинома с числовыми коэффициентами. Компьютерная
аппроксимация подынтегральных функций повышает точность вычисления интегр а-
ла. Тем самым повышается точность вычисления выражений в каждом сомножите-
ле матричных произведений, как следствие повышается достоверность анализа по
критериям устойчивости. Проведен программный и численный эксперимент по анал и-
зу устойчивости системы Лоренца при заданных начальных усл овиях и вариации па-
раметров. На основе численных данных, полученных в ходе эксперимента, однозначно
установлен характер устойчивости исследуемой системы. В целом предложенный
подход дает возможность выполнить анализ устойчивости произвольной системы
обыкновенных дифференциальных уравнений в режиме реального времени без обращ е-
ния к методам качественной теории дифференциальных уравнений и системам ко м-
пьютерной математики.
Литература
nelineynykh dinamicheskikh sistem pri postoyanno deystvuyushchikh vozmushcheniyakh [Stability
of nonlinear dynamical system motion under constantly acting perturbations], Nauchnotekhnicheskiy
vestnik informatsionnykh tekhnologiy, mekhaniki i optiki [Scientific and technical
journal of information technologies, mechanics and optics], 2019, Vol. 19, No. 2, pp. 216-221.
2. Mironov V.V., Mitrokhin Yu.S. Tekhnologicheskiy podkhod k issledovaniyu ustoychivosti
dinamicheskikh sistem: prikladnye voprosy [Constructive approach to the research of dynamic systems
stability: applied problems], Vestnik RGRTU [Vestnik of RSREU], 2017, No. 59, pp. 127-135.
3. Aleksandrov A.Yu., Zhabko A.P., Kosov A.A. Analiz ustoychivosti i stabilizatsiya nelineynykh
sistem na osnove dekompozitsii [Analysis of stability and stabilization of nonlinear systems
via decomposition], Sibirskiy matematicheskiy zhurnal [Siberian mathematical journal], 2015,
Vol. 56, No. 6, pp. 1215-1233.
4. Hammarling S.J. Numerical solution of the stable, non-negative definite Lyapunov equation,
IMA J. of Num. Analysis, 1982, Vol. 2, Issue 3, pp. 303-323.
5. Luyckx L., Loccufier M., Noldus E. Computational methods in nonlinear stability analysis:
stability boundary calculations, J. Comput. Appl. Math., 2004, Vol. 168, Issue 12. pp. 289-297.
6. Giesl P., Hafstein S. Computation of Lyapunov functions for nonlinear discrete time systems
by linear programming, J. Difference Equ. Appl., 2014, Vol. 20, Issue 4, pp. 610-640.
7. Bulanov S.G. Analiz ustoychivosti sistem lineynykh differentsial'nykh uravneniy na osnove
preobrazovaniya raznostnykh skhem [Stability analysis of systems of linear differential equations
based on transformation of difference schemes], Mekhatronika, avtomatizatsiya,
upravlenie [Mekhatronika, Avtomatizatsiya, Upravlenie], 2019, Vol. 20, No. 9, pp. 542-549.
8. Romm Ya.E. Komp'yuterno-orientirovannyy analiz ustoychivosti na osnove rekurrentnykh
preobrazovaniy raznostnykh resheniy obyknovennykh differentsial'nykh uravneniy [Computeroriented
stability analysis based on recurrent transformation of difference solutions of ordinary
differential equations], Kibernetika i sistemnyy analiz [Cybernetics and Systems Analysis],
2015, Vol. 51, No. 3, pp. 107-124.
9. Romm Ya.E., Bulanov S.G. Komp'yuternyy analiz ustoychivosti po Lyapunovu sistem
lineynykh differentsial'nykh uravneniy [Computer analysis of Lyapunov stability for systems
of linear differential equations]. Taganrog: Izd-vo Taganrog. gos. ped. in-ta im.
A.P. Chekhova, 2012, 148 p.
10. Romm Ya.E. Komp'yuterno-orientirovannyy analiz ustoychivosti resheniy differentsial'nykh
sistem [Computer-oriented stability analysis of solutions of differential systems], Sovremennye
naukoemkie tekhnologii [Modern high technologies], 2020, No. 4, pp. 42-63.
11. Chezari L. Asimptoticheskoe povedenie i ustoychivost' resheniy obyknovennykh
differentsial'nykh uravneniy [Asymptotic Behavior and Stability Problems in Ordinary Differential
Equations]. Moscow: Mir, 1964, 478 p.
12. Demidovich D.P. Lektsii po matematicheskoy teorii ustoychivosti [Lectures on Mathematical
Theory of Stability]. Moscow: Nauka, 1967, 472 p.
13. Romm Ya.E., Bulanov S.G. Chislennyy eksperiment po komp'yuternomu analizu ustoychivosti
linearizovannykh sistem nelineynykh differentsial'nykh uravneniy [Numerical experiment on
computer analysis of stability of linearized systems of nonlinear differential equations], Dep. v
VINITI [Dep. in VINITI], 14.07.2016, No. 102, 18 p.
14. Bulanov S.G. Differential systems stability analysis based on matrix multiplicative criteria,
Journal of Physics: Conf. Series, 2020,1479 012103.
15. Barreau М., Seuret А., Gouaisbaut F., Baudouin L. Lyapunov stability analysis of a string
equation coupled with an ordinary differential system, IEEE Trans. Automatic Control, 2018.
available on HAL.
16. Baudouin L., Seuret A., Gouaisbaut F. Lyapunov stability analysis of a linear system coupled
to a heat equation, In 20th IFAC World Congress, Toulouse, 2017, Vol. 50, pp. 11978-11983.
17. Feng G. Stability Analysis of Piecewise Discrete-Time Linear Systems IEEE Trans, Automatic
Control, 2002, Vol. 47, Issue 7, pp. 1108-1112.
18. Romm Ya.E. Modelirovanie ustoychivosti po Lyapunovu na osnove preobrazovaniy
raznostnykh skhem resheniy obyknovennykh differentsial'nykh uravneniy [Modeling of stability
according to Lyapunov based on difference schemes transformations for solutions of ordinary
differential equations], Matematicheskoe modelirovanie [Mathematical Modeling], 2008,
Vol. 20, No. 12, pp. 105-118.
19. Bulanov S.G., Dzhanunts G.A. Programmnyy analiz ustoychivosti sistem obyknovennykh
differentsial'nykh uravneniy na osnove mul'tiplikativnykh preobrazovaniy raznostnykh skhem
i kusochno-polinomial'nykh priblizheniy resheniya [Program analysis of stability of ordinary
differential equations systems on the basis of multiplicative transformations of difference
schemes and piecewise polynomial approximations of the solution], Promyshlennye ASU i
kontrollery [Industrial Automatic Control Systems and Controllers], 2015, No. 2, pp. 10-20.
20. Dzhanunts G.A., Romm Ya.E. Var'iruemoe kusochno-interpolyatsionnoe reshenie zadachi Koshi
dlya obyknovennykh differentsial'nykh uravneniy s iteratsionnym utochneniem [The varying
piecewise interpolation solution of the Cauchy problem for ordinary differential equations with iterative
refinement], Zhurnal vychislitel'noy matematiki i matematicheskoy fiziki [Computational
Mathematics and Mathematical Physics Journal], 2017, Vol. 57, No. 10, pp. 1641-1660.
21. Doban A., Lazar M. Computation of Lyapunov functions for nonlinear differential equations
via a Yoshizawa-type construction, 10th IFAC Symp. on Nonlinear Control Systems NOLCOS:
IFAC-PapersOnLine, 2016, pp. 29-34.
22. Zhaolu T., Chuanqing G. A numerical algorithm for Lyapunov equations, J. Appl. Math.
Comput., 2008, Vol. 202, Issue 1, pp. 44-53.
23. Xiao-Lin L., Yao-Lin J. Numerical algorithm for constructing Lyapunov functions of polynomial
differential systems, J. Appl. Math. Comput., 2009, Vol. 29, Issue 1-2, pp. 247-262.
24. Olgac N., Sipahi R. A practical method for analyzing the stability of neutral type LTI-time
delayed systems, Automatica, 2004, Vol. 40, Issue 5, pp. 847-853.
25. Hafstein S. A constructive converse Lyapunov theorem on asymptotic stability for nonlinear
autonomous ordinary differential equations, Dynamical Systems, 2005, Vol. 20, pp. 281-299.
