О ВЛИЯНИИ ЗАШУМЛЕНИЯ НА РАСПОЗНАВАНИЕ СИММЕТРИИ 3-ГО ПОРЯДКА В ГЕКСАГОНАЛЬНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЯХ
Аннотация
Излагается алгебраический подход к представлению и обработке цифровых изобра-
жений, заданных на гексагональных решетках. Описанный подход основан на представле-
нии изображений как функций на конечных полях «целых Эйзенштейна». Как оказывается,
элементы таких полей естественно соответствуют пикселям гексагональных изображе-
ний определенных размеров. Описаны экспоненциальное и логарифмическое преобразования
в полях Эйзенштейна. Приведен метод обнаружения центров вращательной симметрии
3-го порядка на полутоновых изображениях и введена соответствующая нормированная
мера симметрии. Основной целью работы является исследование влияния зашумления на
изображении на качество оценки симметрии с помощью введенной меры. Фактор зашум-
ленности необходимо принимать во внимание, поскольку уменьшение меры может быть
вызвано не только неполной симметрией реального объекта, но и искажениями из-за шу-
мов, что практически всегда имеет место. Очевидно, что это отличие будет пропорцио-
нально уровню шумовой составляющей. В работе получены аналитические оценки влияния
шума на критерий обнаружения симметрии. Если изображения подвержены случайному
зашумлению, то мера симметрии отдельных областей изображения будет случайной вели-
чиной, закон распределения которой определяется законами распределения шумовых со-
ставляющих. При этом в работе делается стандартное для обработки изображений
предположение о модели нормальной и независимой зашумленности функции яркости.
Особенность введенной меры симметрии третьего порядка не позволяет напрямую приме-
нить стандартные методы для получения вероятностных оценок. С этой целью была про-
ведена оценка кумулятивной функции распределения вероятностей, на основании которой
получено выражение для вероятностей уклонения меры симметрии от истинного значения
на заданную величину. В силу сделанных априорных предположений полученную оценку сле-
дует рассматривать как достаточно «осторожную» и можно ожидать, что в реально-
сти разброс меры, вызванный шумами на изображении, будет существенно меньше, чем
теоретически установленные границы.
Литература
Int. J. Robotics Res., 1995, 14 (5), pp. 407-424.
2. Martinet A., Soler C., Holzschuch N., Sillion F. Accurate Detection of Symmetries in
3D Shapes, ACM Trans. Graph., 2006, 25 (2), pp. 439-464.
3. Middleton L., Sivaswamy J. Hexagonal Image Processing: A Practical Approach. Springer,
2005.
4. Xiangjian He,Wenjing Jia, Namho Hur, QiangWu, Jinwoong Kim. Image Translation and Rotation
on Hexagonal Structure, In: 6th IEEE Intern. Conf. on Computer and Information Technology
(CIT'06). Seoul, 141, 2006.
5. Chertok M., Keller Y. Spectral Symmetry Analysis, IEEE Trans. on Pattern Analysis and Machine
Intelligence, 2010, 32 (7), pp. 1227-1238.
6. Derrode S., Ghorbel F. Shape Analysis and Symmetry Detection in Gray-level Objects Using
the Analytical Fourier-Mellin Representation, Signal Processing, 2004, 84 (1), pp. 25-39.
7. Karkishchenko A.N., Mnukhin V.B. Threefold Symmetry Detection in Hexagonal Images
Based on Finite Eisenstein Fields, Analysis of Images, Social Networks, and Texts. 5th International
Conference, AIST’2016. Selected Papers. Communications in Computer and Information
Science 661, Springer, 2017, pp. 281-292.
8. Karkishchenko A.N., Mnukhin V.B. Raspoznavanie simmetrii izobrazheniy v chastotnoy
oblasti [Symmetry Recognition in the Frequency Domain], Tr. 9-y Mezhdunarodnoy
konferentsii «Intellektualizatsiya obrabotki informatsii – 2012», TORUS Press, Moscow,
2012 [In 9th International Conference on Intelligent Information Processing, TORUS Press,
Moscow, 2012], pp. 426-429.
9. Campello de Souza R.M., Farrell R.G. Finite Field Transforms and Symmetry Groups, Discrete
Mathematics, 1985, 56, pp. 111-116.
10. Mnukhin V.B. Transformations of Digital Images on Complex Discrete Tori, Pattern Recognition
and Image Analysis: Advances in Mathematical Theory and Applications, 2014, 24 (4),
pp. 552-560.
11. Karkishchenko A.N., Mnukhin V.B. Primenenie modulyarnykh logarifmov na kompleksnykh
diskretnykh torakh v zadachakh obrabotki tsifrovykh izobrazheniy [Applications of Modular
Logarithms on Complex Discrete Tori in Digital Image Processing], Vestnik Rostovskogo
gosudarstvennogo universiteta putey soobshcheniya [Bulletin of the Rostov State University of
Railway Transport]. Issue 3. Rostov-on-Don: RGUPS, 2013, pp. 137-142.
12. Mnukhin V.B. Fourier-Mellin Transform on a Complex Discrete Torus // In: 11th Int. Conf.
"Pattern Recognition and Image Analysis: New Information Technologies" (PRIA-11-2013),
September 23-28 2013. Samara, Russia, 2013. – P. 102-105.
13. Her I. Geometric Transforms on the Hexagonal Grid, IEEE Transactions on Image Processing,
1995, 4 (9), pp. 1213-1222.
14. Creutzburg R., Labunets V.G. The Early Papers on Number-theoretic Transforms. Available
at: https://www.researchgate.net/publication/229043248.
15. Labunets V.G. Teoretiko-chislovye preobrazovaniya nad kvadratichnymi polyami [Number
Theoretic Transforms over Quadratic Fields], Slozhnye sistemy upravleniya [Complex Control
Systems]. Kiev: Institut kibernetiki USSR, 1982, pp. 30-37.
16. Varichenko L.V., Labunets V.G., Rakov M.A. Abstraktnye algebraicheskie sistemy i tsifrovaya
obrabotka signalov [Abstract Algebraic Systems and Digital Signal Processing]. Kiev:
Naukova Dumka, 1986.
17. Baker H.G. Complex Gaussian Integers for Gaussian Graphics, ACM Sigplan Notices, 1993,
28 (11), pp. 22-27.
18. Bandeira J., Campello de Souza R.M. New Trigonometric Transforms Over Prime Finite
Fields for Image Filtering // In: VI International Telecommunications Symposium (ITS2006),
Fortaleza-Ce, Brazil, 2006, pp. 628-633.
19. Campello de Souza R.M., de Oliveira H.M., Silva D. The Z Transform over Finite Fields,
ArXiv preprint 1502.03371 published online February 11, 2015.
20. Hundt R., Schön J.C., Hannemann A., Jansen M. Determination of Symmetries and Idealized
Cell Parameters for Simulated Structures, Journal of Applied Crystallography, 1999, 32,
pp. 413-416.
21. Spek A.L. Structure Validation in Chemical Crystallography, Acta Crystallographica. D65,
2009, pp. 148-155.
22. Zeyun Yu, Bajaj C. Automatic Ultrastructure Segmentation of Reconstructed CryoEM Maps of
Icosahedral Viruses, IEEE Transactions on Image Processing, 2005, 14 (9), pp. 1324-1337.
23. Seiichi Kondo, Mark Lutwyche, Yasuo Wada Observation of Threefold Symmetry Images due
to a Point Defect on a Graphite Surface Using Scanning Tunneling Microscope (STM), Japanese
Journal of Applied Physics, 1994, 33 (9B), pp. 1342-1344.
24. Ireland K., Rosen M. A Classical Introduction to Modern Number Theory. Springer-Verlag, 1982.
25. Dummit D.S., Foote R.M. Abstract Algebra. John Wiley&Sons, 2004.
26. Karkishchenko A.N., Mnukhin V.B. Topologicheskaya fil'tratsiya dlya raspoznavaniya i analiza
simmetrii tsifrovykh izobrazheniy [Topological Filtration for Digital Images Recognition and
Symmetry Analysis], Mashinnoe obuchenie i analiz dannykh [Journal of Machine Learning
and Data Analysis], 2014, 1 (8), pp. 966-987.
27. Markus M., Mink Kh. Obzor po teorii matrits i matrichnykh neravenstv [Overview on the theory
of matrices and matrix inequalities]. Moscow: Nauka, 1972, 232 p.
28. Kibzun A.I., Goryainova E.R., Naumov A.V. Teoriya veroyatnostey i matematicheskaya statistika.
Bazovyy kurs s primerami i zadachami [Theory of Probability and Mathematical Statistics.
Basic course with examples and tasks]. Moscow: Fizmatlit, 2013, 232 p.
29. Venttsel' E.S., Ovcharov L.A. Teoriya veroyatnostey [Theory of Probability]. Moscow: Nauka,
1969, 368 p.
30. Karkishchenko A.N., Gorban' A.S. K opredeleniyu mer skhodstva polutonovykh izobrazheniy
[On the definition of measures of similarity of halftone images], Izvestiya YuFU.
Tekhnicheskie nauki [Izvestiya SFedU. Engineering Sciences], 2008, No. 4 (81), pp. 98-103.
