Статья

Название статьи ПЛОТНОСТЬ КАНОНИЧЕСКИХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ КРИВЫХ СО СВОЙСТВОМ ИЗОМОРФИЗМА К ФОРМЕ ЭДВАРДСА
Автор А.В. Бессалов, А.А. Дихтенко, О.В. Цыганкова
Рубрика РАЗДЕЛ IV. МЕТОДЫ И СРЕДСТВА КРИПТОГРАФИИ И СТЕГАНОГРАФИИ
Месяц, год 02, 2014
Индекс УДК 681.3.06
DOI
Аннотация Кривые в форме Эдвардса наиболее интересны с точки зрения практических приложений. Удобство программирования и рекордная производительность – главные преимущества кривых данного класса перед прочими известными формами представления эллиптических кривых. В работе поставлена задача определения точного числа канонических кривых изоморфных кривым Эдвардса над простым полем. Для ее решения предложен прием, основанный на замене параметров канонической кривой парой параметров, где – единственный в поле корень кубического уравнения. Таким образом, найдены условия существования канонических кривых, изоморфных кривым в форме Эдвардса над простым полем. Также доказаны две леммы в теории квадратичных вычетов, построенной на схеме Гаусса. На основе полученных условий и доказанных лемм приведены точные формулы расчета числа эллиптических кривых с ненулевыми параметрами а и b, изоморфных кривым Эдвардса. Доказано, что для больших полей плотность таких кривых близка к 0,25.

Скачать в PDF

Ключевые слова Каноническая эллиптическая кривая; кривая Эдвардса; кривая кручения; параметры кривой; изоморфизм; квадратичный вычет; квадратичный невычет.
Библиографический список 1. Edwards H.M. A normal form for elliptic curves // Bulletin of the American Mathematical Society. – July 2007. – Vol. 44, № 3. – P. 393-422.
2. Bernstein Daniel J., Lange Tanja. Faster addition and doubling on elliptic curves. IST Programme under Contract IST–2002–507932 ECRYPT, 2007. – P. 1-20.
3. Бессалов А.В. Число изоморфизмов и пар кручения кривых Эдвардса над простым полем // Радиотехника. – 2011. – Вып. 167. – С. 203-208.
4. Бессалов А.В., Гурьянов А.И., Дихтенко А.А. Кривые Эдвардса почти простого порядка над расширениями малых простых полей // Прикладная радиоэлектроника. – 2012. – Т. 11, № 2. – С. 225-227.
5. Бессалов А.В., Дихтенко А.А. Криптостойкие кривые Эдвардса над простыми полями // Прикладная радиоэлектроника. – 2013. – Т. 12, № 2. – С. 285-291.
6. Дэвенпорт Г. Высшая арифметика: введение в теорию чисел: Пер. с англ. / Под ред. Ю.В. Линника. – М.: Наука, 1965. – 176 с.
7. Бессалов А.В., Телиженко А.Б. Криптосистемы на эллиптических кривых: Учеб. пособие. – Киев: ІВЦ «Політехніка», 2004. – 224 с.

Comments are closed.