Статья

Название статьи ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ РЕШЕНИЙ БСЛАУ С ТРЁХДИАГОНАЛЬНОЙ МАТРИЦЕЙ
Автор В. И. Шмойлов, Д. В. Тимошенко, В. В. Гривцов
Рубрика РАЗДЕЛ I. МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ ОБРАБОТКИ ИНФОРМАЦИИ
Месяц, год 05, 2018
Индекс УДК 517.524
DOI
Аннотация Рассматриваются бесконечные системы линейных алгебраических уравнений (БСЛАУ) и приводятся примеры решения таких систем. Использование r/φ-алгоритма позволяет найти комплексные решения БСЛАУ, если они имеются, что не обеспечивают известные алгоритмы решения систем. Кроме того, рассматривается способ суммирования расходящихся непрерывных дробей. Этот способ выходит за рамки традиционных методов суммирования, ибо позволяет по последовательности вещественных подходящих дробей установить комплексное число, которое, собственно, и “представлено” этой расходящейся непрерывной дробью. Признаком комплексности такой расходящейся непрерывной дроби с вещественными элементами служат перемены знаков ее подходящих дробей, причём, эти перемены знаков происходят сколь угодно много раз. Другими словами, комплексная единица ei устанавливается из “поведения” подходящих дробей непрерывной дроби. Параметры же комплексного числа z=r_0 e^(iφ_0 ), то есть его модуль r_0 и аргумент φ_0, могут быть определены, так называемым, r/φ-алгоритмом. В отличие от классического определения сходимости непрерывных дробей, сходимость непрерывных дробей, устанавливаемая r/φ-алгоритмом, допускает для цепных дробей с вещественными элементами как вещественные, так и комплексные их значения. Решения СЛАУ с техдиагональными матрицами записываются по формулам Крамера отношениями определителей, которые приводятся к отношению трехдиагональных определителей (n + 1)-го и n-го порядков, представляющих, как известно, непрерывные дроби. Эти непрерывные дроби могут быть как сходящимися, так и расходящимися, в зависимости от коэффициентов вещественной матрицы СЛАУ. Суммирование r/φ-алгоритмом расходящихся непрерывных дробей показывало, что расходящиеся в классическом смысле непрерывные дроби имеют комплексные значения. Непрерывные дроби с вещественными элементами могут иметь как вещественные, так и комплексные значения. Подходящие дроби для сходящихся и расходящихся непрерывных дробей с вещественными элементами, естественно, вещественные, но r/φ-алгоритм по этим подходящим дробям, или «отсчетам», устанавливал значения непрерывных дробей, которые могли быть как вещественными, так и комплексными. Исследуется алгоритм, обеспечивающий быстрые вычисления серии подходящих дробей.

Скачать в PDF

Ключевые слова Бесконечные системы линейных алгебраических уравнений; расходящиеся непрерывные дроби; r/φ-алгоритм.
Библиографический список 1. Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы. – М.: Наука, 1977. – 440 с.
2. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби. В 3-х т. Т. 2. Расходящиеся непрерывные дроби.
– Львов: Меркатор, 2004. – 558 с.
3. Кириченко Г.А. Шмойлов В.И. Алгоритм суммирования расходящихся непрерывных дробей и некоторые его применения // Вычислительная математика и математическая физика. – 2015. – Т. 55, № 4. – С. 559-572.
4. Шмойлов В.И., Кириченко Г.А. Определение значений расходящихся непрерывных дробей и рядов // Известия ЮФУ. Технические науки. – 2013. – № 4 (141). – С. 211-223.
5. Гузик В.Ф., Шмойлов В.И., Кириченко Г.А. Непрерывные дроби и их применение в вычислительной математике // Известия ЮФУ. Технические науки. – 2014. – № 1 (150). – С. 158-174.
6. Селянкин В.В., Шмойлов В.И. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом суммирования расходящихся рядов // Известия ЮФУ. Технические науки.
– 2015. – № 6 (167). – С. 82-94.
7. Гузик В.Ф., Кириченко Г.А, Шмойлов В.И. Решение алгебраических уравнений методом Никипорца-Рутисхаузера // Известия ЮФУ. Технические науки. – 2015. – № 6 (167). – С. 71-82.
8. Гузик В.Ф., Ляпунцова Е.В., Шмойлов В.И. Непрерывные дроби и их применение. – М.: Физматлит, 2015. – 298 с.
9. Шмойлов В.И. Коровин Я.С. Решение систем линейных алгебраических уравнений непрерывными дробями. – Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ, 2017. – 383 с.
10. Левин И.И., Селянкин В.В., Шмойлов В.И. Представление функции Вейерштрасса и ее производной цепными дробями // Известия ЮФУ. Технические науки. – 2016. – № 4 (177). – С. 60-72.
11. Джоунс У., Трон В. Непрерывные дроби. Аналитическая теория и приложения. – М.: Мир, 1985. – 414 с.
12. Шмойлов В.И., Коровин Я.С. Непрерывные дроби. Библиографический указатель. – Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ, 2017. – 382 с.
13. Коялович Б.М. Исследование о бесконечных системах линейных уравнений // Известия Физико-математического института им. В.А. Стеклова. – 1930. – Т. III. – С. 41-167.
14. Иванов О.Ф., Павлов Н.Н., Федоров Ф.М. О главных и строго частных решениях бесконечных систем // Вычислительная математика и математическая физика. – 2016. – Т. 56, № 3. – С. 351-362.
15. Фёдоров В.М. Бесконечные системы линейных алгебраических уравнений и их приложения. – Новосибирск: Наука, 2011. – 311 с.
16. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. – М.: Наука, 1978. – 592 с.
17. Горох О.В. О решении последовательности расширяющихся систем линейных алгебраических уравнений // Теория и методы автоматиз. научных исследований. – Минск, 1985. – С. 3-5.
18. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби и r/-алгоритм. – Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ, 2012. – 608 с.
19. Шмойлов В.И. Расходящиеся системы линейных алгебраических уравнений. – Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2010. – 205 с.
20. Качмар В.С., Русын Б.П., Шмойлов, В.И. Алгоритмы вычисления значений цепных дробей // Вычислительная математика и математическая физика. – 1998. – Т 38, № 9.
– С. 1936-1451.

Comments are closed.